Английские прилагательные busy, engaged, occupied в переводе на русский язык имеют общее значение "занятый". Эти прилагательные различаются по дополнительной характеристике выражаемого ими понятия. Стилистически нейтральны.
Прилагательное busy - "занятый" имеет дополнительные оттенки значений "деятельный, оживлённый, занятый по телефонной линии":
a busy day
хлопотливый день
a busy line
занятая телефонная линия
a busy part of the town
оживлённая часть города
Some people are too busy and never do anything.
Некоторые люди слишком заняты, но никогда ничего не делают.
In the days that followed she was busy arranging a party.
В последующие дни она была занята организацией вечеринки.
I called again, but the line was still busy.
Я позвонил снова, но линия была всё ещё занята.
Прилагательное engaged имеет дополнительный оттенок значения "поглощённый чем-либо":
He was engaged at that time upon his first work of fiction.
В то время он был поглощён своим первым художественным произведением.
Amаlia was engaged in a lively conversation with a tall gentleman.
Амалия была занята оживлённым разговором с высоким джентльменом.
Прилагательное occupied - "занятый" употребляется, в том числе, когда речь идёт о месте или пространстве:
Pauline was occupied in knitting a long green scarf.
Полина была занята вязанием длинного зелёного шарфа.
I am sorry, but this seat is occupied.
Извините, но это место занято.
Примечание:
Прилагательное engaged также имеет значение "быть помолвленным" и в данный синонимический ряд не входит.
В некоторых случаях прилагательные busy, engaged, occupied могут быть взаимозаменяемы:
I am usually busy (engaged, occupied) from 9 a.m. till 6 p.m.
Я обычно занят с 9 утра до 6 вечера.