Глаголы to allow, to permit, to let переводятся на русский язык как "позволять, разрешать". Они различаются по дополнительной характеристике выражаемого ими понятия и по своей стилистической окраске.
Глагол to allow имеет смысловой оттенок "позволять кому-либо что-либо делать, дать право, возможность что-либо сделать". Этот глагол стилистически нейтрален:
Father never allowed the children to swear.
Мой отец никогда не позволял детям ругаться.
Jack was allowed to come too, and he barked at the porters, and at the station-master, and even at the train as soon as it appeared.
Джеку тоже разрешили пойти, и он лаял на носильщиков, на начальника станции и даже на поезд, как только он появился.
Глагол to allow употребляется при выражении вежливой просьбы и звучит довольно официально:
Pray allow me to detain you for a minute.
Пожалуйста, разрешите мне задержать вас на минуту.
Will you allow me to use your pen?
Пожалуйста, позвольте мне воспользоваться вашей ручкой?
Глагол to permit имеет смысловой оттенок "разрешить, предоставить право что-либо делать". По сравнению с глаголом to allow глагол to permit имеет более официальную окраску и принадлежит к числу "книжных" слов:
No person but yourself is permitted to lift this stone or enter the cave.
Никому, кроме вас, не разрешается поднять этот камень или зайти в пещеру.
Because of his weak heart he was not permitted to play football.
Из-за больного сердца ему не разрешали играть в футбол.
В современном языке слова to allow и to permit могут и не иметь вышеназванных смысловых оттенков и взаимозаменяются на равных правах, сохраняя при этом присущую им стилистическую характеристику:
Smoking is not allowed here.
Курить здесь не разрешается.
Smoking is not permitted in this restaurant.
В этом ресторане курить не разрешается.
Глагол to let имеет смысловой оттенок "позволять, допускать, давать возможность кому-либо делать что-либо":
He was a most unsociable dog; he didn't let them lay hand on him.
Он (пёс) был очень необщительным; он не позволял им дотрагиваться до себя.
This fellow didn't let me pass the footbridge.
Это парень не дал мне пройти по пешеходному мостику.
Глагол to let требует употребления после себя местоимения в объектном падеже (me, you, him, her, them, it) или существительного, за которым следует инфинитив без частицы to:
Let me introduce you to the staff.
Разрешите мне познакомить вас с сотрудниками.
Don't let the children come near the edge of the platform.
Не разрешайте детям подходить к краю платформы.
При употреблении с глаголами to drop (ронять) и to fall (падать) в прямом и переносном смысле глагол to let на русский язык не переводится:
Shall we let the matter drop?
Может быть нам оставить этот разговор?
She has let her matches fall in the gutter and they are all spoiled.
Она уронила спички в сточную канаву, и они все испортились.
Глагол to let так же как и глагол to allow употребляется при выражении вежливой просьбы. Однако to let имеет более разговорную окраску:
Let me tell you how I first read that story.
Разрешите мне рассказать вам, как я впервые прочёл этот рассказ.
Allow me to introduce my fellow-travelers to you.
Позвольте мне познакомить вас с моими спутниками.