Глаголы to understand, to realize, to grasp переводятся на русский язык как синонимы глагола "понимать" и различаются по дополнительной характеристике выражаемого ими понятия. Стилистически нейтральны.
Глагол to understand имеет наиболее широкое применение и означает "понимать, иметь ясное представление о чём-либо":
to understand a question
понять вопрос
to understand a signal
понять сигнал
It is better to understand little than to misunderstand a lot.
Лучше понять немного, чем не понять многого.
He suddenly understood that she had hated him for years.
Он вдруг понял, что она ненавидела его много лет.
Примечание:
Глагол to understand также может употребляться в значении "я узнал, мне сказали". Однако в разговорной речи в данном значении чаще употребляются фразы:
I hear
я слышал
I've been told
мне сказали
I hear that you are leaving our department.
Я слышал, вы уходите из нашего отдела.
I've been told that the job has been given to someone else.
Мне сказали, что работу предоставили кому-то другому.
Глагол to realize предполагает не только понимание чего-либо, но и признание какого-либо факта.
Предложение "He realized his mistake" означает, что человек смог осознать свою ошибку, после того, как ему указали на неё.
Предложение "He didn't understand his mistake" будет понято как, "человек не осознал свою ошибку, даже после того, как ему на неё указали".
I soon realized that I was wasting my time.
Я вскоре понял, что зря теряю время.
Suddenly he realized that he was alone in the building.
Вдруг он понял, что он в здании один.
Однако в некоторых случаях глаголы to understand и to realize имеют одинаковое значение и могут быть взаимозаменяемы:
I realize (understand) how you feel.
Я понимаю, что вы чувствуете.
They don't seem to understand (realize) the importance of hard work.
Они, кажется, не понимают важность упорной работы.
Глагол to grasp употребляется в значении "понять, ухватить мысль". В отличие от глагола to understand глагол to grasp имеет оттенок "иметь не очень ясное представление о чём идёт речь":
to grasp a subject
иметь кое-какое представление о предмете
to grasp an idea
уловить мысль
I can't quite grasp your meaning, I am sorry.
Извините, я не совсем понимаю, что вы хотите сказать.