The girl held out the hand that was hurt.
(Девушка протянула руку, которая была повреждена.)
Итак, почему здесь "that", а не "which"?
Все потому, что придаточное в этом предложении - ограничительное (restrictive relative clause). Его еще иногда называют "defining relative clause". В таких придаточных содержится существенная информация об определяемом существительном. В нашем примере информация о том, что рука была повреждена, важна, так как именно поэтому девушка ее протянула. Если мы уберем придаточную часть и оставим только "the girl held out the hand", половина информации потеряется.
Кстати, в британском английском допустим и такой вариант:
She held out the hand which was hurt.
Значение этого предложения абсолютно такое же, как и в предыдущем примере. (Но: обратите внимание, что запятая перед which не ставится).
Другой тип придаточного называется "non-restrictive" или "non-defining relative clause". В таких придаточных содержится несущественная или дополнительная информация, и ее можно просто выбросить из предложения. Важное отличие: non-restrictive relative clause всегда выделяется запятыми.
Our house, which has a red door and green shutters, needs painting.
Как видите, если мы оставим только "Our house needs painting", суть не исчезнет.
Тем не менее, многие предложения можно составить как с одним, так и с другим типом придаточного, но надо помнить, что будет разница в значениях. Все зависит от ситуации, и выбор делает говорящий.
Например:
Our house that has a red door and green shutters needs painting.
Здесь имеется ввиду, что у нас не один дом, а несколько, и покрасить нужно именно тот, у которого красная дверь и зеленые ставни.